Notas aclaratorias sobre Rango de Matrices, Soluciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales by Clases Particulares Online Matematicas Fisica Quimica
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miércoles, 12 de marzo de 2014
lunes, 10 de marzo de 2014
Probabilidad de saber al menos uno de los temas estudiados para unas oposiciones. Probabilidad de aprobar examen de oposiciones.
Sea
CASO CON REEMPLAZAMIENTO
Si el numero total de temas de la oposicion es muy alto, podemos suponer un caso de extraccion con reemplazamiento, usando la binomial para resolverlo.
La probabilidad de saberse un tema cualquiera es: p=B/A
La probabilidad de saberse al menos uno de los C temas es: uno menos la probabilidad de no saberse ninguno de los C temas: P(alguno) = 1 - P(ninguno)
Para la binomial, P(ninguno) = P(X=0) = (c 0)*p^0*(1-p)^C
donde (c 0) es el combinatorio de c sobre 0. El combinatorio de cualquier numero sobre cero es igual a uno. Cualquier numero elevado a cero da uno (p^0 = 1).
Basicamente, la probabilidad de saberse alguno de los C temas del sorteo es
P(alguno) = P(X>0) = 1 - P(X=0) = 1 - (c 0)*p^0*(1-p)^C = 1 - (1-p)^C = 1 - (1-B/A)^C
Ejemplo
Para las oposiciones de matematicas de secundaria entran 71 temas (A=71), de los cuales el opositor se ha estudiado 30 (B=30), y en el sorteo sacaran 4 temas a elegir (C=4).
P(alguno) = 1 - [(71-30)/71]^4 = 1 - 0.1112 = 0.8888
CASO SIN REEMPLAZAMIENTO
Este modelo es mas exacto, y da probabilidades mayores. Para resolver este caso, usaremos la distribucion hipergeometrica.
Distribución hipergeométrica - Wikipedia
Ademas, de nuevo usaremos la relacion P(alguno) = 1 - P(ninguno).
Vamos a calcular P(ninguno) = P(X=0) usando la distribucion hipergeometrica. Es decir, en una poblacion con A elementos, de los cuales B son temas sabidos y A-B son temas no sabidos, tenemos que hallar la probabilidad de que al extraer C elementos de los A (C temas de entre el total de A temas), cero elementos pertenezcan a la poblacion de los sabidos B.
Usando combinatorios, esto es (C 0)*(A-C B)/(A B). Pasado a factoriales, y simplificando un poco la expresion, llegamos a
P(ninguno) = [factorial(A-C)*factorial(A-B)]/[factorial(A)*factorial(A-C-B)]
Simplificando los factoriales, concretamente la pareja factorial(A-C) y factorial(A), junto con la pareja factorial(A-B) y factorial(A-C-B), llegamos a la expresion
P(ninguno) =[(A-B)*(A-B-1)*(A-B-2)*...*(A-B-C+1)] / [A*(A-1)*(A-2)*....*(A-C+1)]
Finalmente
Ejemplo
Para las oposiciones de matematicas de secundaria entran 71 temas (A=71), de los cuales el opositor se ha estudiado 30 (B=30), y en el sorteo sacaran 4 temas a elegir (C=4).
A-B = 71-30 = 41
A-B-C+1 = 71-30-4+1 = 38
De aqui, sacaremos el productorio del numerador 41*40*39*38
A = 71
A-C+1 = 71-4+1 = 68
De aqui, sacaremos el productorio del denominador 71*70*69*68
P(alguno) = 1 - (41*40*39*38)/(71*70*69*68) = 1 - 0.104226 = 0.89577
Y esto es todo. ¡Suerte en el examen!
- A: numero total de temas de la oposicion
- B: numero de temas estudiados por el opositor
- C: numero de bolas extraidas en el sorteo.
CASO CON REEMPLAZAMIENTO
Si el numero total de temas de la oposicion es muy alto, podemos suponer un caso de extraccion con reemplazamiento, usando la binomial para resolverlo.
La probabilidad de saberse un tema cualquiera es: p=B/A
La probabilidad de saberse al menos uno de los C temas es: uno menos la probabilidad de no saberse ninguno de los C temas: P(alguno) = 1 - P(ninguno)
Para la binomial, P(ninguno) = P(X=0) = (c 0)*p^0*(1-p)^C
donde (c 0) es el combinatorio de c sobre 0. El combinatorio de cualquier numero sobre cero es igual a uno. Cualquier numero elevado a cero da uno (p^0 = 1).
Basicamente, la probabilidad de saberse alguno de los C temas del sorteo es
P(alguno) = P(X>0) = 1 - P(X=0) = 1 - (c 0)*p^0*(1-p)^C = 1 - (1-p)^C = 1 - (1-B/A)^C
P(alguno) = 1 - (1-B/A)^C = 1 - [(A-B)/A]^C
Ejemplo
Para las oposiciones de matematicas de secundaria entran 71 temas (A=71), de los cuales el opositor se ha estudiado 30 (B=30), y en el sorteo sacaran 4 temas a elegir (C=4).
P(alguno) = 1 - [(71-30)/71]^4 = 1 - 0.1112 = 0.8888
CASO SIN REEMPLAZAMIENTO
Este modelo es mas exacto, y da probabilidades mayores. Para resolver este caso, usaremos la distribucion hipergeometrica.
Distribución hipergeométrica - Wikipedia
Ademas, de nuevo usaremos la relacion P(alguno) = 1 - P(ninguno).
Vamos a calcular P(ninguno) = P(X=0) usando la distribucion hipergeometrica. Es decir, en una poblacion con A elementos, de los cuales B son temas sabidos y A-B son temas no sabidos, tenemos que hallar la probabilidad de que al extraer C elementos de los A (C temas de entre el total de A temas), cero elementos pertenezcan a la poblacion de los sabidos B.
Usando combinatorios, esto es (C 0)*(A-C B)/(A B). Pasado a factoriales, y simplificando un poco la expresion, llegamos a
P(ninguno) = [factorial(A-C)*factorial(A-B)]/[factorial(A)*factorial(A-C-B)]
Simplificando los factoriales, concretamente la pareja factorial(A-C) y factorial(A), junto con la pareja factorial(A-B) y factorial(A-C-B), llegamos a la expresion
P(ninguno) =[(A-B)*(A-B-1)*(A-B-2)*...*(A-B-C+1)] / [A*(A-1)*(A-2)*....*(A-C+1)]
Finalmente
P(alguno) =1 - [(A-B)*(A-B-1)*(A-B-2)*...*(A-B-C+1)] / [A*(A-1)*(A-2)*....*(A-C+1)]
P(alguno) =1 - [productorio desde (A-B) hasta (A-B-C+1)] / [productorio desde (A) hasta (A-C+1)]
Ejemplo
Para las oposiciones de matematicas de secundaria entran 71 temas (A=71), de los cuales el opositor se ha estudiado 30 (B=30), y en el sorteo sacaran 4 temas a elegir (C=4).
A-B = 71-30 = 41
A-B-C+1 = 71-30-4+1 = 38
De aqui, sacaremos el productorio del numerador 41*40*39*38
A = 71
A-C+1 = 71-4+1 = 68
De aqui, sacaremos el productorio del denominador 71*70*69*68
P(alguno) = 1 - (41*40*39*38)/(71*70*69*68) = 1 - 0.104226 = 0.89577
Y esto es todo. ¡Suerte en el examen!
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