lunes, 10 de marzo de 2014

Probabilidad de saber al menos uno de los temas estudiados para unas oposiciones. Probabilidad de aprobar examen de oposiciones.

Sea
  • A: numero total de temas de la oposicion
  • B: numero de temas estudiados por el opositor
  • C: numero de bolas extraidas en el sorteo. 
Cada bola es uno de los posibles temas para el examen de oposicion. Es decir, hay A bolas en la urna, numeradas desde 1 hasta A, y se extraen C bolas, que son los temas que puede desarrollar el opositor en el examen de oposicion.


CASO CON REEMPLAZAMIENTO

Si el numero total de temas de la oposicion es muy alto, podemos suponer un caso de extraccion con reemplazamiento, usando la binomial para resolverlo.

La probabilidad de saberse un tema cualquiera es: p=B/A

La probabilidad de saberse al menos uno de los C temas es: uno menos la probabilidad de no saberse ninguno de los C temas: P(alguno) = 1 - P(ninguno)

Para la binomial, P(ninguno) = P(X=0) = (c 0)*p^0*(1-p)^C
donde (c 0) es el combinatorio de c sobre 0. El combinatorio de cualquier numero sobre cero es igual a uno. Cualquier numero elevado a cero da uno (p^0 = 1).

Basicamente, la probabilidad de saberse alguno de los C temas del sorteo es

P(alguno) = P(X>0) = 1 - P(X=0) = 1 - (c 0)*p^0*(1-p)^C = 1 - (1-p)^C = 1 - (1-B/A)^C

 P(alguno) =  1 - (1-B/A)^C = 1 - [(A-B)/A]^C

Ejemplo

Para las oposiciones de matematicas de secundaria entran 71 temas (A=71), de los cuales el opositor se ha estudiado 30 (B=30), y en el sorteo sacaran 4 temas a elegir (C=4).

P(alguno) = 1 - [(71-30)/71]^4 = 1 - 0.1112 = 0.8888

CASO SIN REEMPLAZAMIENTO

Este modelo es mas exacto, y da probabilidades mayores. Para resolver este caso, usaremos la distribucion hipergeometrica.

Distribución hipergeométrica - Wikipedia

Ademas, de nuevo usaremos la relacion P(alguno) = 1 - P(ninguno).

Vamos a calcular P(ninguno) = P(X=0) usando la distribucion hipergeometrica. Es decir, en una poblacion con A elementos, de los cuales B son temas sabidos y A-B son temas no sabidos, tenemos que hallar la probabilidad de que al extraer C elementos de los A (C temas de entre el total de A temas), cero elementos pertenezcan a la poblacion de los sabidos B.

Usando combinatorios, esto es (C 0)*(A-C B)/(A B). Pasado a factoriales, y simplificando un poco la expresion, llegamos a

P(ninguno) = [factorial(A-C)*factorial(A-B)]/[factorial(A)*factorial(A-C-B)]

Simplificando los factoriales, concretamente la pareja factorial(A-C) y factorial(A), junto con la pareja factorial(A-B) y factorial(A-C-B), llegamos a la expresion

P(ninguno) =[(A-B)*(A-B-1)*(A-B-2)*...*(A-B-C+1)] / [A*(A-1)*(A-2)*....*(A-C+1)]

Finalmente

 P(alguno) =1 - [(A-B)*(A-B-1)*(A-B-2)*...*(A-B-C+1)] / [A*(A-1)*(A-2)*....*(A-C+1)]

 P(alguno) =1 - [productorio desde (A-B) hasta (A-B-C+1)] / [productorio desde (A) hasta (A-C+1)]


Ejemplo

Para las oposiciones de matematicas de secundaria entran 71 temas (A=71), de los cuales el opositor se ha estudiado 30 (B=30), y en el sorteo sacaran 4 temas a elegir (C=4).

A-B = 71-30 = 41
A-B-C+1 = 71-30-4+1 = 38

De aqui, sacaremos el productorio del numerador 41*40*39*38

A = 71
A-C+1 = 71-4+1 = 68

De aqui, sacaremos el productorio del denominador 71*70*69*68

 P(alguno) = 1 - (41*40*39*38)/(71*70*69*68) = 1 - 0.104226 = 0.89577

Y esto es todo. ¡Suerte en el examen!

martes, 16 de octubre de 2012

Enunciados Examenes Matematicas II, Fisica y Quimica Selectividad PAU UNED

Enunciados Examenes Matematicas II Selectividad PAU UNED 2010-2013

PD: Muchos problemas de Fisica del 2012 tienen errores horrendos. Se ve que algun iluminado de la UNED decidio que para hacer los examenes del 2012 bastaba coger los examenes del 2011 y cambiar unos cuantos numeros y palabrejas por aqui y por alla. El resultado de esta decision es el siguiente: fotones con menor energia que la energia cinetica del electron liberado por efecto fotoelectrico, electrones con una carga que no les corresponde, objetos que se meten en el interior de la tierra en el tema de gravitacion, angulos de incidencia imposibles en fenomenos de refraccion... en fin.

lunes, 25 de junio de 2012

Examen Resuelto Corregido Selectividad Quimica Andalucia Junio Curso 2011-2012

EXAMEN DE LA OPCION A
EXAMEN DE LA OPCION B
NECESITO EL EXAMEN DE FISICA PARA RESOLVERLO, GRACIAS

jueves, 21 de junio de 2012

Examen Resuelto Corregido Selectividad Matematicas aplicadas a las Ciencias Sociales Andalucia Junio Curso 2011-2012

EXAMEN DE LA OPCION A

NOTA: En muchos manuales, cuando se tratan los intervalos de confianza normalmente aparece el valor Z (α/2) en todas las formulas. Esta notacion da lugar a confusiones. Vosotros deberiais cambiarlo por Z (1-α/2). Este Z (α/2) que aparece en las formulas se define como el valor Z que deja a su derecha el area de probabilidad α/2. Las tablas que se os entregan en Selectividad relacionan los valores de Z con el area de probabilidad que dejan a su izquierda, no a la derecha. Y como el valor que deja a su derecha un area de α/2 es el mismo que deja a su izquierda un area de 1-α/2, debereis de buscar este ultimo.

En este caso en concreto Z (α/2 a la derecha) = Z (0.005 a la derecha) = Z (1-α/2 a la izquierda) = Z (0.995 a la izquierda) = 2.575.

EXAMEN DE LA OPCION B

Examen Resuelto Corregido Selectividad Matematicas II Andalucia Junio Curso 2011-2012

EXAMEN DE LA OPCION A
EXAMEN DE LA OPCION B
NECESITO EL EXAMEN DE FISICA PARA RESOLVERLO. Gracias.